Question

Fie G centrul de greutate al triunghiului ABC si M € (BC) , BM=MC. Dacă GN||AB, N € (BC) și Aria GMN= 20 cm pătrați,calculati Aria ABC.

Answer 1

medianele intr-un triunghi determina perechi de triunghiuri echivalente:
ABM ≈ AMC (1)
BAR ≈ BRC (2)
CAP ≈ CPB (3)  aceste relatii se poate demonstra f. usor (au baze si inaltimi respectiv congruente.)
dupa cum se vede in figura am notat:
x=aria BGM = aria GMC
y=aria CRG = aria GRA
z=aria APG = aria BPG relatiile de mai sus provin de la aceleasi considerente in care avem baze si inaltimi respectiv congruente
din (1) rezulta  x+2z=x+2y ⇒ y=z
din (2) rezulta y+2x=y+2z ⇒ x=z
din ultimele 2 relatii rezulta ca x=y=z

observam ca in triunghiul AMB avem GN║AB, scriem rapoartele Thales
MN/NB=MG/GA=1/2 (vezi punctul de intersectie al medianelor)
rezulta NB=2MN prin urmare segmentul BM este format din 3 segmenta MN si in consecinta aria triunghiului BGM=x este formata din 3 arii GMN=20

am aratat mai sus ca aria ABC = 2x+2y+2z=6x=6*3*20=360 cm2