Question

Fie m ∈ ℝ* si functia bijectiva f : ℝ -> ℝ, ce satisface relatia

$m^2 f((m^2+1)x)-2mf(x^2+m^2)+1 \leq 0, \quad \forall x \in \mathbb_{R}.$

Atunci:

$a) \ m=2 \quad b) \ m\in \{-1,1\} \quad c) \ m = 10 \\ \\ d) \ m\in (-1,1) \setminus \{0\} \quad e) \ m\in \mathbb_{R} \backslash [ -1,1] \quad f) \ m\in \mathbb_{R} ^* \backslash \{-1,1\}$

Ajutati-ma va rog, este din culegerea pentru admitere la Universitatea Politehnica Timisoara.

Answer 1

Salut,

Nu ai scris bine enunțul, la început este m²f²((m²+1)x) -- ..., funcția f este la puterea a doua, foarte important !

Problema din enunț este problema AL 60 din culegerea de probleme pentru admiterea la Universitatea Politehnica din Timișoara, ediția din 2016, pagina 16.

Dacă relația din enunț este valabilă pentru orice x real, ea este valabilă și pentru x = 1:

m²·f²(m²+1) -- 2·m·f(1+m²) + 1 ≤ 0 => [mf(m²+1) -- 1]² ≤ 0.

Un pătrat perfect nu poate avea valori negative, deci din inegalitatea de mai sus rezultă că (mf(m²+1) -- 1)² = 0, deci mf(m²+1) -- 1 = 0, sau f(m² + 1) = 1/m (1).

La fel, dacă relația din enunț este valabilă pentru orice x real, ea este valabilă și pentru x = m²:

m²·f²(m⁴+m²) -- 2·m·f(m⁴+m²) + 1 ≤ 0 => [mf(m⁴+m²) -- 1]² ≤ 0.

Un pătrat perfect nu poate avea valori negative, deci din inegalitatea de mai sus rezultă că [mf(m⁴+m²) -- 1]² = 0, deci mf(m⁴+m²) -- 1 = 0, sau f(m⁴+m²) = 1/m (2).

Din (1) și (2) rezultă că f(m² + 1) = f(m⁴+m²) = 1/m.

Dar funcția f este bijectivă, deci ea este și injectivă, deci din f(m² + 1) = f(m⁴+m²) ==>> m² + 1 = m⁴+m², adică m⁴ = 1, sau (m² -- 1)(m² + 1) = 0.

Singurele soluții reale sunt m₁ = -- 1 și m₂ = +1.

Răspunsul corect este deci b).

Green eyes.