Question

Fie M si N mijloacele laturilor [AB] si [CD] ale PATRULATERULUI ABCD , iar O mijlocul segmentului [MN] . Sa se arate ca suma vectorilor OA +OB +OC+ +OD =0 . Multumesc mult

Answer 1

daca M este mijlocul lui AB si N este mijlocul lui CD si O este mijlocul lui MN atunci
$\vec{MA}=-\vec{MB}$
$\vec{NC}=-\vec{ND}$
$\vec{OM}=-\vec{ON}$
La fiecare egalitate, este cu - pentru ca directiile vectorilor sunt opuse, si atunci trebuie acel minus ca sa fie egale

Putem scrie fiecare vector in parte astfel:
$\vec{OA}=\vec{OM}+\vec{MA}$
$\vec{OB}=\vec{OM}+\vec{MB}$
$\vec{OC}=\vec{ON}+\vec{NC}$ 
$\vec{OD}=\vec{ON}+\vec{ND}$
Si acum adunam toti vectorii
$\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}+\vec{OD}=\vec{OM}+\vec{MA}+\vec{OM}+\vec{MB}+\vec{ON}+\vec{NC}+<span>\vec{ON}+\vec{ND}=2\vec{OM}+\vec{MB}-\vec{MB}+2\vec{ON}+\vec{ND}-\vec{ND}=2(\vec{ON}-\vec{ON})=\vec{0}</span>$