Question

Fie M un punct in interiorul unui cerc de centrul 0 si [AB] o coarda care trece prin M. Notam cu N simetricul lui M fata de A , cu P simetriucul lui M fata de B , iar cu Q mijlocul lui [NP]. Demonstrati ca triunghiul OMQ este isoscel.

Answer 1

Urmărește figura atașată.

NA=AM  și  MB=BP

NQ=QP=(2AM+2MB)/2=AM+MB⇒QP-MB=MA⇒QP-BP=MA⇒QB=MA.

OC_|_AB⇒AC=CB⇒AC-AM=CB-QB⇒MC=CQ⇒OC este mediană și înălțime în ΔMOQ⇒ΔMOQ este isoscel. 

fd455aff74dd384e8ad7bb7a7c2a8aee.docx

Answer 2

Am atasat desenul.

Stim ca
(1):  MA=AN si MB=BP  (ipoteza).

Vom arata ca ΔOAM≡ΔOBQ:
(2):  OA=OB (raze), deci ΔOAB isoscel, de unde rezulta ca:
(3):  m(<OAM)=m(<OBA)
Q este mijlocul lui [NP], deci:

NQ=QP= $\frac{NP}{2}$ =

= $\frac{2*MA+2*MB)}{2}$ =
= MA+MB = AB

Am obtinut asadar:
(4):  NQ=QP=AB, prin urmare:

MA = NQ - MQ - AN
QB = AB - MQ - MA =  NQ - MQ - AN (din rel 4 si 1). Asadar:
(5):  MA=QB

Din (2), (3) si (5) rezulta ca ΔOAM≡ΔOBQ (L.U.L.), deci OM=OQ, adica ΔOMQ este isoscel.