Question

Fie mulțimea M e {1;2;3;...;n}. Determinați n e N* ştiind că mulțimea M are 67 de submulțimi cu cel mult două elemente.

Answer 1

M = {1; 2; 3; ... ; n}

Submulțimile cu câte 2 elemente au Cₙ² = n!/[2!(n-2)!] =

= (n-2)!(n-1)n/[2!(n-2)!] = n(n-1)/2 elemente.

Submulțimile cu câte 1 element au 'n' elemente.

Submulțimile cu câte 0 elemente au 1 element (mulțimea vidă).

⇒ 1 + n + n(n-1)/2 = 67 |·2

⇔ 2 + n + n(n-1) = 134

⇔ n + n(n-1) = 134-2

⇔ n(2 + n-1) = 132

⇔ n(n+1) = 132

⇔ 11·12 = 132

⇒ n = 11