Question

Fie n∈N, astfel incat 13n+8 da restul 13 la impartirea cu 80, iar 8n+5 da restul 5 la impartirea cu 50. Determinati ultimeledoua cifre ale lui n.

Answer 1

Lucram pe prima ipoteza:
8n+5n+8 = 80a+13 => 8n+5n - 5 = 80a => ultima cifra a sumei 8n+5n este 5 (pentru ca ultima cifra a lui 80a nu poate fi decat 0) =>
8n+5n este un numar care are ultima cifra 5, deci este un numar impar
stim ca numerele impare se scriu ca suma dintr-un numar par si unul impar
cum 8n este intotdeauna numar par, indiferent de paritatea lui n, atunci 5n trebuie sa fie impar. Aceasta conditie se respecta doar daca n este impar.

Lucram pe a doua ipoteza:
8n+5 = 50b + 5 => 8n=50b => inmultindu-l pe n cu 8 trebuie sa ne dea un numar divizibil cu 50, deci si cu 10; acest lucru se intampla doar daca ultima cifra a lui n este fie 0, fie 5. Cum am aratat ca n trebuie sa fie impar, rezulta ca ultima cifra a lui n este 5.
8n=50b. Simplificam cu 2 si obtinem 4n=25b => n este divizibil cu 25, deci se termina fie in 00, 25, 50,75. am stabilit ca n este impar, deci ultimele 2 cifre ale lui n pot fi fie 25, fie 75.