Question

Fie nr natural a=1+3+3²+...+3¹⁰+3¹¹
a.) Aratati că a este nr par
b.) Aratati că nr a este divizibil cu 10​

Answer 1

Răspuns:

a)  

a = 1 + 3 + 3² + 3³ + .. + 3¹⁰ + 3¹¹ =  

(1 + 3) + 3² x (1 + 3) + .. + 3¹⁰ x (1 + 3) =  

4 + 3² x 4 +  .... + 3¹⁰ x 4 =  

4 x (1 + 3² + ..... + 3¹⁰) ⇒ (a) este numar par,  fiindca avem produsul a doua numere din care unul este numar par ( 4 ) iar rezultatul este intotdeuna un numar par.

b)  

a = 1 + 3 + 3² + 3³ + ..... + 3¹⁰ + 3¹¹ =  

(1 + 3 + 3² + 3³) + .... + (3⁸ + 3⁹ + 3¹⁰ + 3¹¹) =  

(1 + 3 + 9 + 27) + ..... + 3⁸ x (1 + 3 + 3² + 3³) =  

40 + .... +  3⁸ x (1 + 3 + 9 + 27) =  

40 + .... + 3⁸ x 40 =

40 x (1 + .... + 3⁸) =  

4 x 10 x (1 + .... +3⁸)  ⇒ divizibil cu 10

Answer 2

Observam inductiv ca ultima cifra a lui $3^{n}$, unde n este un numar natural este :

• 1, daca n este divizor al lui 4 (n=4k)
• 3, daca n este divizor al lui 4 + 1 (n=4k+1)
• 9, daca n este divizor al lui 4 + 2 (n=4k+2)
• 7, daca n este divizor al lui 4 + 3 (n=4k+3)

unde k este un numar natural

Ultima cifra a sumei a=1+3+3²+...+3¹⁰+3¹¹ este egala cu suma ultimei cifra a fiecarui termen :

Daca grupam termenii cate 4 (primii 4, apoi urmatorii 4, etc.) vom avea 3 grupulete (12 / 4 = 3) de cate patru termeni

Sumele ultimelor cifre ale fiecarui grupulet este egal cu 1+3+9+7 = 20. Pe noi ne intereseaza doar ultima cifra, deci ultima cifra a sumei elementelor fiecarui grupulet este 0.

Stiind ca avem 3 grupulete, ultima cifra a sumei grupuletelor va fi 3*0 = 0

a) Orice numar care se termina in cifra para este par. Stim ca ultima cifra a lui a este 0, (0 este par) deci numarul a este par.

b) Un numar este divizibil cu 10 daca si numai daca ultima cifra a acestuia este 0. Am determinat anterior ca ultima cifra a lui a este 0, deci numarul a este divizibil cu 10