Question

Fie nr x si y cu proprietatile :x-9=8×(9+9^2+9^3+....+9^n-1)si y-12=4×(5+5^2+5^3+.....+5^n).Sa se semonstreze ca x este patrat perfect iar y nu este patrat perfect.

Answer 1

I.  notam S=9+9^2+9^3+....+9^n-1   inmultim cu 9

       =>  9S=9^2+9^3+9^4+....+9^n

9S-S=9^n-9

S=(9^n  -9):8

x-9=8·(9^n  -9):8

x-9=9^n- 9

x=9^n

x=(3^n)^2 ,este patrat perfect

II.notam S=5+5^2+5^3+.....+5^n; inmultim cu 5

=>5S=5^2+5^3+.....+5^(n+1);

5S-S=5^(n+1)-5

S=[5^(n+1) -5]:4

y-12=4·[5^(n+1) -5]:4

y=5^(n+1) -5 + 12

y=5^(n+1) +7

pentru n numar par => u(y)=u(5+7)=2 =>y nu poate fi patrat perfect

pentru n numar impar => u(y)=u(0+7)=7=> y nu poate fi patrat perfect

=> y nu este patrat perfect