Question

Fie numarul:
A=(1*2*3*4+1)*(2*3*4*5+1)*.................................*(2012*2013*2014*2015+1)
Aflati ultimele 2 cifre a lui A



* inseamna ori

Answer 1

Salut,

Numărul A este de fapt un produs care conţine 2012 termeni, fiecare termen este de forma k*(k+1)*(k+2)*(k+3)+1, unde k ia valori de la 1, 2, 3, 4, până la 2012, inclusiv.

Avem că:

$k\cdot(k+1)\cdot(k+2)\cdot(k+3)+1=k\cdot(k+3)\cdot(k+1)\cdot(k+2)+1=\\=(k^2+3k)\cdot(k+1)\cdot(k+2)+1=(k^2+3k)\cdot[(k^2+3k)+2)+1=\\=(k^2+3k)^2+2\cdot(k^2+3k)+1=(k^2+3k+1)^2.$

Deci fiecare termen al produsului este un pătrat perfect. Să analizăm mai îndeaproape pe k²+3k+1, fără să fie ridicat la pătrat.

Pentru k=1, avem k²+3k+1=5.

Pentru k=2, avem k²+3k+1=11.

Pentru k=3, avem k²+3k+1=19, deci acele valori care sunt ridicate la pătrat sunt de fapt produsul valorilor 5*11*19..., deci sunt multiplu de 5, ultima lui cifră este clar 5.

Păi dacă produsul A este de fapt un număr multiplu de 5, care este ridicat la pătrat (ultima lui cifră este 5), înseamnă că după ridicarea la pătrat, ultimele două cifre ale numărului A sunt 25.

Aceasta este soluţia completă a problemei.

Green eyes.