Question

Fie numarul a = 13 + 13^2 + 13^3 + .... + 13^2014. Aratati ca:
a) numarul "a" este numar par
b) numarul "a" se divide cu 14
Va multumesc!

Answer 1

  
[tex]a=13^1+13^2+13^3+ \hdots +13^{2014} \\ a) \\ 13 = numar~impar \\ \text{Un numar impar ridicat la orice putere, rezulta tot numar impar} \\ \text{Din sirul exponentilor lui 13, observam ca suma are 2014 termeni.} \\ Dar ~ 2014 = numar~par. \\ \text{O suma formata dintr-un numar par de termeni impari, este para} \\ \Longrightarrow ~~ a = numar~par \\ ----------- [/tex]

[tex]b) \\ a= 13^1 + 13^2 +13^3 +13^4 +\hdots+13^{2013} +13^{2014} \\ \text{Observam ca suma primilor 2 termeni este multiplu lui 14.} \\ 13 + 13^2 = 13(1+13) = 13 \times 14 ~ \vdots ~ 14 \\ \text{Vom grupa suma in grupe de cate 2 termeni.} \\ \text{Avem dreptul deoarece avem un numar par de termeni.} \\ a= 13^1 + 13^2 +13^3 +13^4 +\hdots+13^{2013} +13^{2014} = \\ = (13^1 + 13^2) +(13^3 +13^4) +\hdots+(13^{2013} +13^{2014}) = [/tex]

[tex]= 13(1 + 13) +13^3(1 +13) +\hdots+13^{2013}(1 +13) = \\ = 13(1 + 13) +13^3(1 +13) +\hdots+13^{2013}(1 +13) = \\ =(1+13)(13+13^3+13^5 + \hdots 13^{2013}) = \\ =14(13+13^3+13^5 + \hdots 13^{2013}) ~\vdots~14 \\ cctd[/tex]

Answer 2

a= 13+ 13²+ 13³+ ... + 13²⁰¹⁴
1. a= nr. par
2. a : 14

2. P₁: Se scoate factor comun pe 13, apoi pe 13²  ... din fiecare doi termeni.

a=13¹·( 13⁰ + 13¹)+ 13²·( 13⁰+ 13) +... + 13²⁰¹³ ·( 13⁰+ 13)

P₂: Se adună cei doi termeni din paranteză.

a=13¹·14+ 13²·14 +... + 13²⁰¹³ ·14

P₃: Se scoate factor comun pe 14.
a=14· (13¹+ 13²+... + 13²⁰¹³)

P₄: Se analizează produsul.

a=14· (13¹+ 13²+ ... + 13²⁰¹³)    , 
dacă  14 :14 ,   atunci  14· (13¹+ 13²+ ... + 13²⁰¹³)  : 14

1. a= nr. par ?
 
. u( 13²⁰¹³)= ? 

P₁. Se descoperă nr. de repetări!
13¹=                13
13²=               169
13³=                ...7
13⁴=  ..            ...1         nr. de repetări= 4
13⁵= ..................3

P₂. Se împarte exponentul sau puterea la nr. de repetări!
2 013::4= 503( r.1)

P₃. Se fixează ultima cifră. Exponentul este dat de puterea restului!
u(13⁰)= 1

REGULĂ!  Se împarte exponentul la nr. de repetări; ultima cifră a nr. este                    dată  de ultima cifră a nr. aflat PUTEREA RESTULUI.

CONCLUZII!

a= 14·( 13¹+ 13²+ 13³+ 13⁴ + ... + 13²⁰¹³)
  
Se ia în calcul doar ultima cifră a fiecărui termen.
a= 14·( ...3+... 9 + ... 7+ ,,, + 1+ ... 3+ ... 9+ ... 7+ ... 1 + ....+ ..... 1)

Se observă acea repetare de 4 şi stabilirea ultimei cifre din şir.

1. mp. +imp= par(3+ 9= 12)
2. par+ imp= imp,( 12+ 7= 19)
3.imp+ imp= par (19+ 1= 20)
--------------------------------------
2013. imp.+ par= par

a=14 · ... 0 ⇒ nr. par ·nr. par= nr. par   , a= nr. par