Question

Fie o matrice M cu 20 de linii și 21 de coloane,care conține următoarele elemente:
M[i][j]=i*i dacă i=j,M[i][j]=min{i,j} dacă i≠j,pentru i≤i≤20,1≤j≤21.Care este suma tuturor elementelor din matrice?
a)5740
b)5240
c)6760

Answer 1

Ne uitam la matrice.

Observam ca submatricea formata din primele 20 de linii si coloane e o matrice patratica simetrica. Deci suma deasupra diagonalei principale e egala cu suma numerelor de sub diagonala principala.

In cele ce urmeaza consideram aceasta submatrice de 20x20 :

► Suma numerelor aflate sub diagonala principala :

Observam ca avem suma numerelor 1 + (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4) + ... + (1+2+...+19). Numerele 1, 1+2, 1+2+3, .... (1+2+...+19) se numesc numere triunghiulare.

Stim ca suma primelor n numere triunghiulare are formula $\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$. Deci suma primelor 19 numere triunghiulare este 19*20*21/6 = 1330

Deoarece suma numerelor aflate deasupra diagonalei principale am argumentat ca este aceasi, suma numerelor aflate deasupra diagonalei principale este 1330.

► Suma numerelor aflate pe diagonala principala

Suma primelor n patrate perfecte are formula :

$1^2+2^2+....+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Deci, suma numerelor de pe diagonala principala este 20*21*41/6 = 2870

► Suma numerelor aflate pe ultima coloana (coloana numarul 21)

1+2+3+....+20 = 20*21/2 = 210, este o simpla suma gauss.

Deci in total, suma  numerelor din intreaga matrice este 1330+1330+2870+210 = 5740

Acelasi rezultat este indicat si de computer, deci rezultatul a)5740 este corect.