Question

Fie o progresie aritmetica cu toate elementele nr naturale. Sa se arate ca r= nr natural.
Fie o progresie geometrica cu toate elementele nr naturale. Sa se arate ca r = nr natural.

Answer 1

an, a(n+1)∈N
a(n+1)-an=r∈Z
dac a(n+1)-an<0,⇒exista k∈N,  a.î.an-kr<0 si a(n+k-1)∉N
unde k=[an/r]+1
deci r∈N


b(k+1)=q*bk, unde prin q am notat ratia
q=b(k+1)/bk∈R*; deci q∈R+ (1)
cum bk si bk+1∈N⇒q∈Q+

fie bn∈progresiei
dac q<1, atunci exista k, asafel incat (1/q)^k>bn si b( n+k-1)<1∉N

deci q>1
fie bn descompus in factori primi bn=a^s*b^t*...*c^z
daca q∈Q+ \ N, q=(x/y), cu (x,y)=1,
 exista p asa fel incat b(n+p)=bn*q^(p-1)=bn*(x/y)^(p-1)∈Q\N
(exista puteri suficient de mari ca y^(p-1) sa nu se simplifice cu vreo putere din descompunerea lui bn si astfel bn sa nu fie natural, ci rational pozitiv)
dar noi avem b(n+p)∈N; contradictie
deci dac q∈Q+ si ∉Q+\N, ⇒q∈N,
C.C.T.D.