Question

Fie P ∈R[X] un polinom de grad n >1. Aratati ca pentru orice punct Q, numarul tangentelor la graficul functiei polinomiale f:R→R, f(x)=P(x), care trec prin punctul Q este cel mult n.

Answer 1

Strategie de lucru

Fie $P\in\mathbb{R}[x]$ cu $\text{grad}(P)=n$ si fie $Q(x_Q,y_Q)\in\mathbb{R}^2$ oarecare. Vom demonstra afirmatia prin a o reduce la o ecuatie polinomiala de gradul $n$, care nu poate avea mai mult de $n$ solutii.

Geometria problemei

Ma voi folosi, acum, de interpretarea analitica a tangentei. Fie $T(x_T,y_T)\in G_f$, asadar $y_T=f(x_T)$. Fie  Tangenta la $G_f$ prin $T$ are panta egala cu $f'(x_T)$, adica cu derivata functiei evaluata in punctul $x=x_T$ (panta este $\text{tg}\varphi$, unde $\varphi=\angle(Ox, \text{tangenta prin }T)$). Putem sa observam, geometric (vezi desenul), ca $\text{tg}\varphi=\dfrac{y_Q-y_T}{x_Q-x_Q}$. Egaland cele doua expresii ale tangentei, obtinem:

$\tan\varphi=\dfrac{y_Q-y_T}{x_Q-x_T}=f'(x_T)\:\:\:\:\:(*)$

Calculul derivatei si finalizare

Cum $P\in\mathbb{R}[x]$ cu $\text{grad}(P)=n$, putem defini $P(X)$ astfel:

$P(X):=\sum_{i=0}^n a_iX^i$

Prin derivare:

$P'(X)=\sum_{i=1}^n ia_iX^{i-1}$

Utilizand relatia (*):

$\dfrac{y_Q-y_T}{x_Q-x_T}=\sum_{i=1}^n i\cdot a_i\cdot (x_T)^{i-1}\\\\\iff y_Q-y_T=x_Q\left(\sum_{i=1}^n i\cdot a_i\cdot (x_T)^{i-1}\right)-\sum_{i=1}^n i\cdot a_i\cdot x_T^i\\\\y_T=f(x_T)\\\\\iff x_Q\left(\sum_{i=1}^n ia_ix_T^{i-1}\right)-\sum_{i=1}^n ia_ix_T^i+\sum_{i=0}^n a_ix_T^i-y_Q=0\\\\\iff \sum_{i=0}^n\left[ x_Qia_ix_T^{i-1}+a_ix_T^i(1-i)\right]-y_Q=0$  

Fie $W\in\mathbb{R}[X]$ astfel incat $W(X):=\sum_{i=0}^n\left[x_Qia_iX^{i-1}+a_iX^i(1-i)\right]-y_Q$. Este evident ca $\text{grad}(W)=n$, asadar ecuatia $W(X)=0$ are cel mult $n$ solutii. In concluzie, exista cel mult $n$ valori ale lui $x_T$, si deci cel mult $n$ puncte $T\in G_f$, astfel incat $QT$ e tangenta la $G_f$ in punctul $T$.