Question

Fie paralelogramul ABCD si punctul M apartine lui (BD), iar AM U(intors) DC=P si AM U(intors) BC=N.Aratati ca AM la a doua =MP inmultit cu MN.(Sa imi si explicati).

Answer 1

Cerinta se mai poate scrie si ca egalitatea a doua rapoarte: AM/MP=MN/AM Din paralelismul AB||DC, adica AB||DP avem triunghiurile asemenea: MAB si MPD, cu unghiurile MPD si MAB congruente, respectiv MDP si MBA congruente (ca unghiuri alterne interne congruente, formate de paralelele DP||AB cu secantele AP, respectiv DB), iar unghiul BMA congruent cu unghiul DMP ca unghiuri opuse la varf., deci cazul de asemanare (U.U.U.) Din asemanarea celor doua triunghiuri rezulta ca laturile respectiv opuse la unghiurile congruente sunt in rapoarte egale (raport de asemanare): AM/MP=MB/DM pe care o notam ca relatia (1) La fel, din paralelismul laturilor paralelogramului avem AD||BC si atunci triunghiul AMD este asemenea cu triunghiul MNB (U.U.U.) cu explicatia asemanatoare ca mai sus si avem raortul de asemanare: MB/DM=MN/AM  notam ca relatia (2) Din relatia (1) si relatia (2), folosind tranzitivitatea (daca a=b si b=c atunci a=c) rezulta egalitatea dorita: AM/MP=MB/DM =MN/AM, adica  AM/MP=MN/AM, adica AM^2=MP*MN.  (q.e.d.)