Matematică, întrebare adresată de 102533, 8 ani în urmă

Fie prisma hexagonala regulata ABCDEFA'B'C'D'E'F' cu muchia bazei AB=12cm și înălțimea AA'= 12√3cm. Notăm cu N mijlocul muchiei CC'.
a.) Demonstrați că dreptele BF' și ND sunt perpendiculare.
b.) Aflați distanta dintre punctele BF' și ND.

Răspunsuri la întrebare

Răspuns de adresaana
36

Răspuns:

a) Încadrăm dreptele BF' și ND în plane convenabile pentru a demonstra perpendicularitatea. Vom arăta ca BF' ⊥ pe planul care o conține pe ND, prin urmare BF' ⊥ ND.

Considerăm planele BFF'B' și ADNM.

Notăm cu O punctul FB ∩ AD

Δ FAB isoscel și AO bisectoare ⇒ AO înălțime și mediană

m(∡AFO) = 90° - 60° = 30°

⇒ FO = 12 * cos 30° = 6√3

⇒ FB = 12√3

BB' ⊥ BF, BF ≡ B'F', BB' ≡ FF', BB' ≡ BF ⇒ BFF'B' este un pătrat

notăm cu M mijlocul laturii BB'

punctele M și O ∈ planelor BFF'B' si AMND ⇒ BFF'B' ∩ AMND = MO

cum OB ≡ MB (= 6√3)  ⇒ OM║FB'

într-un pătrat diagonalele sunt perpendiculare, adica F'B ⊥ FB'

⇒ F'B ⊥ MO

MO fiind dreapta de intersecție a celor două plane ⇒ F'B ⊥ planul AMND  

cum ND ∈ planului AMND

⇒ F'B ⊥ ND

b)

notăm cu Q punctul în care BF' ⊥ MO

distanța dintre BF' și MO este lungimea segmentului QP, unde QP ⊥ ND

știm de la punctul a) că OB = BM = 6√3 și AO =6

Δ BOM dreptunghic ⇒ OM² = 36*3 + 36*3 = 36*6

OM = 6√6

Δ ABM dreptunghic ⇒ AM² = 36*3 + 12*12 = 36*7

AM = 6√7

în Δ AOM se verifică relația lui Pitagora

AM² = OM² + AO² = 36*7  ⇒ Δ AOM dreptunghic

construim OP ⊥ ND si MT ⊥ ND

se formează 3 triunghiuri asemenea, cazul UUU

Δ AMO ~ Δ NMT ~ Δ DOR

din raporturile de asemănare aflăm lungimile MT și OR

MA / MN = MO / MT

6√7 / 12 = 6√6 / MT

MT = 12√6 / √7

și

MA / OD = MO / OR

6√7 / 18 = 6√6 / OR

OR = 18√6 / √7

MT ║ OR ⇒ patrulaterul MTRO este trapez

F'B ⊥ OM și Δ BOM isoscel  ⇒ MQ ≡ QO  ⇔ QR linia mijlocie în trapez

deci QR = MT / 2 + OR / 2

QR = 6√6 / √7 + 9√6 / √7 = 15√6 / √7

QR = 15√42 / 7

Explicație pas cu pas:

Anexe:
Răspuns de augustindevian
26

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Anexe:
Alte întrebări interesante