Question

Fie proportia a/2=3^50+3^49+3^48+…+3^2+3 totul supra b. Aflati ultima cifra a numarului a*b.

Answer 1

Răspuns:

4

Explicație pas cu pas:

numaratorul din membrul doi este suma termenilor unei progresii geometrice de ratie q = 3, 50 termeni.

a/2 = 3(3^50 - 1) / 2b

a*b = 3(3^50 - 1)

3^1 = 3

3^2 = 9

3^3 = _7

3^4 = _ _ 1 si apoi se tot repeta terminatiile, ca si mai sus, din 4 in 4

50 : 4 = 12 si rest 2, deci

u(3^50) = 9(pozitia a 2-a din tabelul terminatiilor)

u(3^50 - 1) = 9 - 1 = 8.

u(a*b) = u(3 * 8) = 4.

Answer 2

Explicație pas cu pas:

$\dfrac{a}{2} = \dfrac{ {3}^{50} + {3}^{49} + {3}^{48} + ... + {3}^{2} + 3}{b}$

S = 3 + 3² + ... + 3⁴⁹ + 3⁵⁰ |×3

3S = 3² + 3³ + ... + 3⁴⁹ + 3⁵⁰ + 3⁵¹ |+3

3S + 3 = 3 + 3² + ... + 3⁴⁹ + 3⁵⁰ + 3⁵¹

3S + 3 = S + 3⁵¹

3S - S = 3⁵¹ - 3

$2S = 3^{51} - 3 \implies S = \dfrac{3^{51} - 3}{2}$

atunci:

$\dfrac{ab}{2} = \dfrac{3^{51} - 3}{2} \iff ab = 3^{51} - 3$

$u(ab) = u(3^{51} - 3) = u(u(3^{51}) - 3) = \\ = u(u( {({3}^{4})}^{12} \cdot {3}^{3}) - 3) = u(u( {3}^{3}) - 3) \\ = u(u(27) - 3) = u(7 - 3) = u(4) = \bf 4$

.

[ultimele cifre ale puterilor lui 3 se repetă din patru în patru, în funcție de resturile împărțirii exponentului puterii la 4]