Question

Fie triunghiul ABC ; AC=6 cm ; I = centrul cercului înscris în ∆ABC; iar unghiul ACB este suplementul unghiului BIA . Distanța de la vârful A la latura BC este 

Answer 1

Centrul cercului înscris într-un triunghi se află la intersecția celor trei bisectoare ale unghiurilor interne ale triunghiului, iar bisectoarea reprezinta semidreapta ce imparte unghiul in doua unghiuri egale.
Stim ca mas(ACB)+mas(BIA)=180 de grade.
Stim ca mas(BIA)=180-mas(BAC)/2-mas(ABC)/2.
Atunci mas(ACB)+180-mas(BAC)/2-mas(ABC)/2=180, deci mas(ACB)-mas(BAC)/2-mas(ABC)/2=0
Dar mas(ACB)=180-mas(ABC)-mas(BAC).
Atunci avem 180-mas(ABC)-mas(BAC)-mas(BAC)/2-mas(ABC)/2=0=>
3*mas(BAC)/2+3*mas(ABC)/2=180=>
mas(BAC)+mas(ABC)=120 de grade=> mas(ACB)=60 de grade.
Construim AD perpendicular pe BC si obtinem triunghiul ADC dreptunghic in D si stim AC=6 si mas(ACD)=60 de grade=> mas(DAC)=30 de grade=> folosim teorema unghiului de 30 de grade(care spune: cateta opusa unghiului de 30 de grade e jumatate din ipotenuza)=> DC=AC/2=> DC=3.
Folosim Pitagora in triunghiul ADC:
$AC^{2}=DC^{2}+AD^{2}$=> 
$6^{2}=3^{2}+AD^{2}$=> AD=$3 \sqrt{3}$. Deci distanta de la A la BC este $3 \sqrt{3}$.