Question

Fie Triunghiul ABC ascutitunghic si D un punct oarecare pe latura [AC].Se noteaza cu E respectiv F simetricul punctului D fata de latura [BC],respectiv [AB] a]Realizati Desenul b]Aratati ca [BE]=[BF] c]Calculati masura lui <ABC stiind ca masura unghiului <EBF este de 120 grade.

Answer 1

Iti trimit rezolvarea pe foaie.

Answer 2

Desenul este atasat.
b) Observi ca simetricul unui punct fata de o dreapta se afla, construind doua segmente perpendiculare egale pentru ca la capatul celui de-al doilea sa ai punctul.
Notam cu M, respectiv N punctele de intersectie ale dreptelor DE si DF cu dreptele BC si AB.
Deoarece punctele B,M si C sunt coliniare, avem unghiurile:
<BME ≡ <DMC (opuse la varf)
La fel este si cu punctele B,N,A coliniare:
<BNF ≡ <AND
Construim segmentul [BD].
Avem triunghiurile BNF si BND dreptunghice:
[FN]≡[ND] (Segmente congruente perpendiculare pe dreapta-simetricul)
[NB]≡[NB] (Latura comuna)
=>(C.C) ΔBNF≡ΔBND => [BF]≡[BD] (1)
Avem si triunghiurile MBD si MBE dreptunghice:
[EM]≡[MD] (Simetricul)
[BM]≡[BM] (Latura comuna)
=>(C.C) ΔMBD≡ΔMBE => [BD]≡[BE] (2)
Din (1) si (2) ne rezulta concluzia, adica:
[BE]≡[BF].
c)Din congruentele triunghiurilor dreptunghice deducem automat
ca ΔBFD si ΔBED sunt isoscele, deoarece:
[BF]≡[BD]≡[BE]

Din proprietatile triunghiurilor isoscele stim ca inaltimea este si mediana, si bisectoare!

Noi avem in ΔBFD isoscel [BN] inaltime si [BN] mediana, de accea [BN este si bisectoare.
Atunci:
m(<FBN)=m(<DBN)=x
In triunghiul EBD isoscel, avem si aici [BM bisectoare:
m(<EBM)=m(<DBM)=y
m(<EBF)=m(<FBN)+m(<DBN)+m(<DBM)+m(<EBM) =>
=>120=x+x+y+y=>2x+2y=120 => 2(x+y)=120|:2 => x+y = 60 de grade
Dar m(<ABC)=m(<DBN)+m(<DBM)=x+y =>
m(<ABC) = 60 de grade.

Sper ca te-am ajutat. Multumeste si lui lakabcristina 2! :)