Question

Fie triunghiul ABC cu [AB]=[AC] și [AD bisectoarea unghiului A, D e (BC). Fie MeAD, M=D.Arătați că triunghiul MBC este isoscel.Discuție.

Answer 1

Daca AB=AC⇒ΔABC-isoscel⇒bisectoarea unghiului A( de la varf) este mediana si inaltime⇒BD=DC(1) si AD⊥BC. Deoarece M∈AD⇒MD⊥BC(2). Din (1) si (2)⇒in ΔMBC o mediana [MD] este si inaltime ,deci ΔMBC este isoscel.Discutie: Daca M=A atunci ΔMBC≡ΔABC(identice). Daca M∈(AD)  atunci aria ΔMBC<aria ΔABC deoarece MD<AD. Daca M=D atunci ΔMBC nu exista , deoarece contrazice teorema inegalitatilor intre lungimile laturilor unui triunghi. Daca M∈[DA \[AD] atunci aria ΔMBC>aria ΔABC deoarece MD>AD. Analog pentru ΔA`BC unde A`este simetricul lui A fata de BC.