Question

fie triunghiul ABC si [AD bisectoarea ∡BAC , D ∈(BC).Se duce paralela DE la lat AB si EM⊥AD , E∈(AC) si M ∈(AD). Prin M se duc paralelele MN II AB si MP II AC ,N,P ∈(BC).
Aratati ca perimetrul triunghiului MNP este egal cu jum din perimetrul triunghiului ABC

Answer 1

Cum DE||AB, rezulta ca m(∡BAD)=m(∡ADE) ca unghiuri alterne interne, formate cu secanta AD.

Dar AD este bisectoarea ∡BAC, deci m(∡BAD)=m(∡DAE).

Din cele doua relatii de mai sus rezulta ca ΔADE este isoscel, cu m(∡ADE)=m(∡DAE). Asadar inaltimea EM corespunzatoare bazei in ΔADE isoscel este si bisectoare, si mediana, adica M este mijlocul lui AD.

In ΔABD, MN||AB si M este mijlocul lui AD, deci MN este linie mijlocie, de unde rezulta ca N este mijlocul lui BD (adica NB=ND= $\frac{BD}{2}$ ), iar MN = $\frac{AB}{2}$  (rel 1).

In ΔACD, MN||AB si M este mijlocul lui AD, deci MP este linie mijlocie, de unde rezulta ca P este mijlocul lui CD (adica PD=PC= $\frac{DC}{2}$ ), iar MP = $\frac{AC}{2}$  (rel 2).

Din (rel 1) si (rel 2) rezulta ca NP=ND+DP= $\frac{BD}{2}$ + $\frac{DC}{2}$ = $\frac{BC}{2}$

Asadar perimetrul ΔMNP=MN+MP+NP=

= $\frac{AB}{2}$ + $\frac{AC}{2}$ + $\frac{BC}{2}$ =

= $\frac{AB+AC+BC}{2}$ = jumatate din perimetrul ΔABC