Question

Fie triunghiul ABC si [AD bisectoarea unghiului <BAC, D apartine [BC]. Aratati daca AD perpendicular cu BC, atunci triungiul ABC este isoscel

Answer 1

Se formeaza doua triunghiuri, ABD si ACD. Cele doua triunghiuri au o latura comuna, AD si unghiurile $\angle{BAD}=\angle{CAD}$(AD bisectoare) si unghiurile drepte egale $\angle{ADB}=\angle{ADC}=90$ deci avem un caz de congruenta intre triunghiurile ABD si ACD de tip ULU(unghi latura unghi)
Atunci ipotenuzele celor doua triunghiuri sunt egale: AB=AC, adica ABC este triunghi isoscel. Vedem de asemenea ca si cealalta cateta din fiecare triunghi sunt egale adica BD=CD, ceea ce demonstreaza ca AD este atat bisectoare si inaltime in triunghiul isoscel, dar si mediana.