Question

Fie triunghiul ABC si punctele M,N aparțin (BC), astfel încât m(BAM)=m(CAN)
a)Folosind teorema sinusului sa se demonstreze ca $\frac{BM}{CM} \frac{BN}{CN}= \frac{ AB^{2} }{ AC^{2} }$

Answer 1

Unghiurile BAM și NAC sunt congruente;
Unghiurile BAN și MAC sunt congruente; (diferente de unghiuri congruente);
Unghirile ANB și ANC sunt suplementare, deci au același sinus;
Unghirile AMB și AMC sunt suplementare, deci au același sinus;

$\dfrac{BM}{sinx}=\dfrac{AB}{sinAMB}\Rightarrow BM=\dfrac{ABsinx}{sinAMB};$

$\dfrac{CN}{sinx}=\dfrac{AC}{sinANC}\Rightarrow CN=\dfrac{ACsinx}{sinANC};$

$\dfrac{BN}{sinBAN}=\dfrac{AB}{sinANB}\Rightarrow BN=\dfrac{ABsinBAN}{sinANB};$

$\dfrac{CM}{sinMAC}=\dfrac{AC}{sinAMC}\Rightarrow CM=\dfrac{ACsinMAC}{sinAMC}.$

 Înlocuim în membrul stâng al relației date și după simplificări se obține membrul drept.