Question

Fie triunghiul ABC si un punct D pe dreapta BC astfel incat DB=AB, B apartine (DC). Daca [BE este bisectoarea unghiului ABC, demonstati că dreptele Ad si Be sunt paralele.

Answer 1

Salut,

din teorema bisectoarei in triunghiul ABC rezulta ca AB/BC=AE/EC

Din ipoteza stim ca DB=AB , dei raportul poate fi scris ca DB/BC=AE/EC.

Daca te uiti mai atenta,vei observa ca aceasta este chiar teorema lui Thales in triunghiul ADC cu paralela EB, deci din reciproca teoremei obtinem ca BE || AD

Sper ca te-am ajutat. O zi buna!

Answer 2

DB = AB ⇒ ΔBAD -isoscel ⇒ m(∡BAD) = m(∡ADB) (1)

Unghiul ABC este unghi exterior triunghiului BAD ⇒

⇒ m(∡ABC) = m(∡BAD) +m(∡ADB) (2)

(1), (2) ⇒ m(∡ABC) =2·m(∡BAD) |: 2 ⇒ m(∡ABC)/2 = m(∡BAD) (3)

Știm că [BE - bisectoare pentru (∡ABC) ⇒m(∡ABC)/2 = m(∡ABE) (4)

(3), (4) ⇒ m(∡ABE) = m(∡BAD)

Dar, unghiurile din ultima egalitate sunt alterne interne față de secanta AB.

Prin urmare, AD || BE.