Question

Fie triunghiul echilateral ABC cu latura de 10 cm.si un punct M in interiorul lui.Daca D,E,F,sunt proiectiile lui M pe AB,BC,CA,calculati MD+ME+MF.Vreau rezolvarea completa a acestui exercitiu de clasa a-7-a.La sfarsitul cartii mele de mate imi da ca este egal cu 5 radical din 3.

Answer 1

Fie AA' perpendicular pe BC si cum ΔABC este echilateral, rezulta ca AA'este si inaltime, si mediana (si bisectoare, dar asta ne intereseaza mai putin in pb noastra). Deci BA''=A''C=5cm si calculam AD cu Teorema lui Pitagora in ΔABA":
$AA''^{2} = AB^{2} - BA''^{2}$

$AA''^{2} = 10^{2} - 5^{2}$=75

AA''=5$\sqrt{3}$ cm

Exprimam aria ΔABC in doua moduri:
Aria ΔABC=$\frac{BC*AA''}{2}$

Aria ΔABC=Aria ΔMBC+Aria ΔMAC+Aria ΔMAB=
=$\frac{BC*ME}{2}$+$\frac{AC*MF}{2}$+$\frac{AB*MD}{2}$

Deci:
$\frac{10*5* \sqrt{3} }{2}$=$\frac{10*ME}{2}$+$\frac{10*MF}{2}$+$\frac{10*MD}{2}$, de unde, inmultind cu 2 si impartind la 10 ambii membri obtinem:

ME+MF+MD=5$\sqrt{3}$ cm