Question

Fie triunghiula ABC,punctul M simetricul punctului B fata de dreapta AC,iar punctul N simetricul punctului C fata de dreapta AB.Dacă punctele M,A,N sunt coliniare și MN || BC arătați ca triunghiul ABC este echilateral

Answer 1

   Cum MN || BC si M, A, N sunt coliniare , rezulta AM || BC, folosind teorema fundam. a asemanarii, obtinem APM asemenea cu CPB, de unde AP/PC=BP/PM, unde P este intersectia dintre AC si BM; cum M simetricul lui B fata de AC, rezulta BP=PM, de unde AP=PC, deci BP este mediana; dar BM perpendicular pe AC, rezulta BP este si mediana si inaltime.
   Analog, aratam ca CQ, unde Q este intersectia dintre CN si AB, este si mediana si inaltime. Astfel, liniile importante ale triunghiului coincid si, deci, triunghiul este echilateral.