Question

Fie un triunghi dreptunghic ABC cu A=90 grade si AD inaltimea triunghiului.Demonstrati ca: a)AD < BC/2
b) daca AD=BC/2, atunci unghiul B= cu unghiul c
c) AD< 1/4 ( AB+BC+CA )

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Inaltimea in tr dr este m.geo. intre segmentele det. de ea pe ip.

daca segmentele sunt a si b si daca jumatate din ip. este (a+b)/2 avem sa comparam AD=(a*b)^0.5  cu ((a+b)/2)^2)^0.5

sau  comparam a*b cu 1/4*(a2+b2+2*ab)= a2/4+b2/4+ab/2

Calculam diferenta dintre a2/4+b2/4+ab/2 si ab

Dif = a2/4+b2/4 - ab/2 = 1/4 * (a-b)^2 care este pozitiv pt orice a diferit de b

Pentru a=b avem AD maxim

b)  AD =BC/2   tr ADC este isoscel  cu varful in D  si congr. cu tr ADB de unde:

AB=AC iar AD este AB*r2, sin ACB = sin ABC= 1/r2  => mB=45gr

c) AD maxim este BC/2 in conditiile in care (v. pct a&b) AB=BC/r2 =AC

Comparam BC/2 cu 1/4*(BC+2*(BC/r2)= BC * 1/4*(1+1.4)= BC*(1.2/2)

BC/2 < 1.2 * BC/2