Question

Fie VABCD o piramida patrulatera regulata cu toate fetele laterale triunghiuri echilaterale cu latura de 24 cm. Calculati:
a) cosinusul unghiului diedru format de planele (VBC) si (ABC);
b) sinusul unghiului diedru format de planele (VBC) si (VAC);
c) sinusul unghiului diedru format de planele (VBC) si (VAD).

Answer 1

Pt usurinta calculelor vom nota AB=VA=a , o piramiada asemenea cu piramida pt care a=24
valorile unghiurilor si deci ale functiilor tyrigonometrice asociate din cerinte  vor fi aceleasi

Fie VM⊥BC, M∈BC, ΔVBC echilateral⇒BM≡MC
si O= AC∩BD
a)cos∡((VBC), (VAC))=cos ∡VMO=(a/2)/(a√3)/2=1/√3=√3/3

c) VO= √VM²-OM²=√((a√3/2)²-(a/2)²)=a√2/2
fie N∈AD, AN≡ND

mas∡((VBC), (VAC))=mas∡(VM, VN), teorema acoperisului=mas∡MVN

2Arie ΔVMN=VM*VN*sin∡MVN=MN*VO
(a√3/2)² sin∡ MVN=a*a√2/2
(3/4) sin∡MVN=√2/2
sin ∡MVN=(2√2)/3


b) fie P∈VC, VP≡P , cum VBC echuilateral,⇒BP⊥VC
in piram patrulatera regulata cu VA=AB= a si AC=a√2 rezulta ptrin rec Teo pitagora ca AV⊥VC⇒ΔVAC dr.isoscel⇒ΔVOC, dr.isoscel⇒OP mediana si inaltime⇔OP⊥VC⇒mas ∡((VAC, (VBC))=mas∡(OP, PB)
OB⊥AC(diag in patrat)
OB⊥VO ( ptca VO ⊥OB⊂(ABC))⇒OB⊥(VAC), ⇒OB⊥OP⊂(VAC)⇔ΔPOB dreptunghic in O

⇒ sin ∡OPB= OB/PB
OB jumatatede diagonala de patrat cu lat. a, OB=a√2/2
PB inalt in tr echilat lat a, PB, PB=a√3/2
sin∡OPB= √2/√3=√6/3