Question

Fie x,y numere reale pozitive astfel incat x+y=1.Sa se demonstreze ca:
a) x la 2 + y la 2 > sau egal decat 1/2
b)x la 4 + y la 4 >sau egal decat 1/8
urgent

Answer 1

a) x²+y²≥ 1/2
(x²-2xy+y²) +2xy≥ 1/2
 (x-y)²+2xy≥ 1/2
Stim ca (x-y)²≥0 pentru orice x,y ∈R. Ramane deci sa demonstram ca 2xy≥1/2. Folosim inegalitatea Mg≤Ma
√xy ≤ (x+y)/2
√xy ≤  1/2 
xy ≤ 1/4 
2xy ≤ 1/2 (ceea ce trebuia sa aratam)

b)Se face la fel ca a) :
x⁴+y⁴≥ 1/8
(x⁴-2x²y²+y⁴) +2x²y²≥ 1/8
(x²-y²)²+2x²y² ≥ 1/8
(x²-y²)²≥0 pentru orice x,y∈R. Trebuie sa demonstram ca 2x²y² ≥ 1/8.
√xy ≤ (x+y)/2
√xy ≤  1/2 
xy ≤ 1/4  
x²y² ≤ 1/16
2x²y² ≤ 1/8 (ceea ce trebuia sa demonstram)
Daca ai intrebari te rog sa mi le adresezi la comentarii.