Question

Fie x1 și x2 rădăcinile ecuației x^2+x-13=0.
Arătați ca Sn=x1^n + x2^n aparține lui Z, oricare ar fi n aparține lui N

Answer 1

cu notatia Sn=x1^n+x2^n

avem

x1+x2=-1∈Z

x1²+x2²=(x1+x2)²-2x1x2=(-1)²-2*(-13)= S2∈Z (ca o expresie de adunari , inmultiri si ridicari la putere cu numere intregi, este 1+26=27∈Z, daca insista cineva sa te intrebe )

am verificat pt n=1 si n=2 propozitia Sn∈Z, este adevarata

presupunem adevarata pt n=n si pt n=n-1, pt ca am verificat pt n=1 si pt n=2

daca x1 este radacina

x1²+x1-13=0

x1²=-x1+13 | inmultim relatia cu x1^(n-1)

x1^(n+1)=-x1^n+13x1^(n-1)

analog

x2^(n+1)=-x2^n+13x2^(n-1)

adunam aceste ultime 2 relatii

x1^(n+1) +x2^(n+1)=-(x1^n+x2^n)+13(x1^(n-1)+x2^(n-1))

adica

S(n+1)=-Sn+13S(n-1)

dar Sn , 13 si S(n-1) ∈Z

deci si S(n+1)∈Z

asadar P (n-1) si Pn⇒P(n+1), unde prin Pn am inteles propozitia pt n=n

propozitia este demonstrata prin inductie matematica, deci este adevarata ∀n∈N