Question

Fie x1 si x2 radacinile ecuatiei x²-4x+2=0 .Calculati (x1-2)² +(x2-2)²

Answer 1

Răspuns:

$4$

Explicație pas cu pas:

Cerința: Fie $\text{x}_1$ și $\text{x}_2$ rădăcinile ecuației $\text{x}^2\text{ - 4x + 2 = 0}$. Calculați $(\text{x}_1-2)^2 +(\text{x}_1-2)^2$.

Pasul 1: listăm coeficienții în funcție de ecuație

$\displaystyle \begin{cases} a=1\\ b=-4 \\ c=2\end{cases}$

Pasul 2: Calculăm delta conform formulei

$\boxed{\Delta=b^2-4\cdot a\cdot c}$

$\Delta=(-4)^2-4\cdot 1\cdot 2\\ \Delta=16-8\\ \Delta=8$

Pasul 3: Aflăm rădăcinile ecuației conform formulei

$\boxed{X_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}}$

$\displaystyle X_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-4)+\sqrt{8}}{2\cdot 1}=\frac{4+2\sqrt{2}}{2}=\frac{4}{2}+\frac{\not2\sqrt{2}}{\not2}= 2+\sqrt{2}$

$\displaystyle X_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-4)-\sqrt{8}}{2\cdot 1}=\frac{4-2\sqrt{2}}{2}=\frac{4}{2}-\frac{\not2\sqrt{2}}{\not2}= 2-\sqrt{2}$

Așadar,

$\displaystyle \left \{ {{x_1=2+\sqrt{2} } \atop {x_2=2-\sqrt{2} }} \right.$

Pasul 4: Înlocuim rădăcinile în calcul

$(x_1-2)^2 +(x_2-2)^2=\\ \\ (\not2+\sqrt{2}-\not2 )^2+(\not2-\sqrt{2}-\not2)^2=\\ \\ (\sqrt{2})^2+(-\sqrt{2})^2=\\ \\ 2+2=\boxed{\bold{4}}$