Question

Fie x1, x2, x3, x4 rădăcinile polinomului
$p = {x}^{4} + {x}^{3} + {x}^{2} + x + 1.$
${x1}^{8} + {x2}^{18} + {x3}^{28} + {x4}^{38}$
este...
​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Jmenul consta in a observa ca p formeaza o progresie geometrica , deci poate fi scris si:

$p=\dfrac{x^5-1}{x-1}$ , x≠1

Daca p(x)=0 rezulta x⁵=1, avand ca solutii radacinile de ordin 5 ale polinomului (inafara de 1) .

Atunci suma poate fi scrisa:

$x_1^8+x_2^{18}+x_3^{28}+x_4^{38}=x_1^5\cdot x_1^3+x_2^{15}\cdot x_2^3+x_3^{25}\cdot x_3^3+x_4^{35}\cdot x_4^3=\\=x_1^3+x_2^3+x_3^3+x_4^3.$

Suma asta e destul de simplu de calculat.Merge fie cu relatiile lui Viete, fie sa ne folosim de faptul ca x1, x2, x3 si x4 sunt radacini ale polinomului . Just check it out.

$\displaystyle p(x_i)=x_i^4+x_i^3+x_i^2+x_i+1=0|:x_i\neq 0,~i=\overline{1,4}\\~~~~~~x_i^3+x_i^2+x_i+1+\dfrac{1}{x_i}=0\\ x_i^3=-x_i^2-x_i-1-\dfrac{1}{x_i}\\\texttt{De aici nu ar mai trebui sa fie probleme. Daca nu stii cum sa}\\\texttt{continui , feel free to ask.}$