Question

Fiecare din diagonalele [AD], [BE], [CF] ale hexagonului convex ABCDEF imparte hexagonul in doua poligoane echivalente(de arii egale). Arătați ca Ad, BE, CF sunt concurente.

Answer 1

Din ipoteză deducem, de exemplu, că [ABEF]=[ADEF], de unde [ABM]=[DEM] (M e intersecţia dintre AD şi BE iar cu [X] am notat aria figurii X).
De aici rezultă că AE||BD. Analog AC||DF, BF||CE, deci triunghiurile ACE şi BDF sunt asemenea, având laturile paralele.

Acum, se vede uşor că MA/MD=AE/BD (asemănarea triunghiurilor AEM şi DBM). Dacă notăm intersecţia dintre AD şi CF cu N, obţinem similar NA/ND=AC/DF. Dar AE/BD=AC/DF, din asemănarea menţionată anterior, deci  M=N, adică diagonalele sunt concurente.