Question

Figura 1 reprezinta schita unui teren unde isi desfasoara activitatea doua echipe de cercetasi E1 si E2.Traseele posibile sunt reprezentate de segmentele de pe figura.Punctele M si N sunt mijloacele laturilor AC si respectiv BC. BM intersectat cu AN este egal cu punctul G.Segmentele AB si CG au lungimi egale.AG=40 dam si GM=30 dam.
a)Aratati ca BG=60 dam
b)Demonstrati ca masura unghiului AGB este de 90
c)Stiind ca echipa E1 exploreaza traseul G-A-M-G iar echia E2 exploreaza traseul G-N-C-M,precizati care echipa a parcurs o distanta mai mare.

Answer 1

a)
G este centrul de greutate care se gaseste la intersectia medianelor unui triunghi
si se afla la 2/3 fata de varf si 1/3 fata de baza
daca AG=2/3× AN= 40 dam ⇒ AN=40×3/2=60 ⇒GN=  60×1/3=20 dam
daca GM=1/3× BM= 30 dam ⇒ BM=30×3/1=90 ⇒BG= 90×2/3=60 dam

b)
În orice triunghi dreptunghic lungimea medianei dusă din vârful unghiului drept este egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei.
prelungim CG pana intersecteaza AB si notam P  CP este mediana in triunghiul ACB  si in acelasi timp mediana in triunghiul AGB
CG=2CP/3  si  GP=CP/3
AB=CG=2CP/3  AP=PB=(2CP/3)/2=CP/3  ⇒ CP=AB/2 ⇒triunghiul AGB este dreptunghic in G

c)
daca m(∡AGB)=90°⇒ m(∡AGM)=m(∡BGN)=90°
AM=MC=√(AG²+GM²)=√(40²+30²)=√(1600+900)=√2500=50 dam
BN=NC=√(BG²+GN²)=√(60²+20²)=√(3600+400)=√4000=20√10 dam
traseul G-A-M-G  =GA+AM+MG=40+50+30=120 dam
traseul G-N-C-M  =GN+NC+CM=20+20√10+50=70+20√10 dam≈133,24 dam
traseul echipei 2 este mai mare