Question

Folosind forma canonica a trinomului de gradul al doilea, sa se arate ca:
a) trinomul x^2-x+1 ia valori pozitive pentru orice x real;
b) trinomul -2x^2+8x-9 ia valori negative pentru orice x real.

Answer 1

x²-x+1=x²-x=1/4+3/4=(x-1/2)²+3/4≥3/4>0 decui strict pozitiv, ∀x real

-2x²+8x-9=-2(x²-4x+9/2)=-2(x²-4x+4+1/2)=-2((x-2)²+1/2)

cum (x-2)²≥0 atunci (x-2)²+1/2≥1/2

deci 2((x-2)²+1/2)≥1 si , prin inmultire cu -1

-2((x-2)²+1/2)≤-1<0  deci strict negativ, ∀x∈R

Answer 2

a) x²-x+1

Δ=b²-4ac=1 -4=-3

Δ= - 3; Δ<0  

forma canonica

f(x)=a(x+b/2)²+ (-Δ/4a)

=(x-1/2)²+3/4  forma canonica

3/4 este mai mare decat 0 deci este strict pozitiva

deci ia valori pozitive pentru orice x real;

b)

-2x²+8x-9

Δ=64-4·(-9)·(-2)

Δ=64-72

Δ= - 8

forma canonica  -2x²+8x-9;  a = - 2, b = 8  si c = -9

f(x)=a(x+b/2)²+ (-Δ/4a) = -2(x+4)²+(9/4·(-2)=

-2(x+4)²-(9/8)=

-9/8 este negativ deci ia valori negative

ia valori negative pentru orice x real.