Question

Fp 5. Triunghiul din figura alăturată este isoscel, cu măsura unghiului A egală cu 120°. Baza are lungimea BC=24 cm, iar M,N,P sunt mijloacele laturilor AB, AC, respectiv BC. (2p) Demonstrați că AMPN este un romb și calculați perimetrul său. A B M P N C (3p) Demonstrați că distanţa de la punctul B la dreapta AC este egală cu jumătate din lungimea lui BC.
a) demonstrati ca AMPN este romb si calculati perimetrul sau
b) Demonstrati ca distanta de la punctul B la dreapta Ac este egala cu jum din lungimea lui​

Answer 1

Linia mijlocie- este paralela si egala cu jumatate din baza

a)

Daca M este mijlocul lui AB si P mijlocul lui BC⇒ MP=AC:2

Dar N este mijlocul lui AC⇒ AN=NC

⇒ MP=AN (1)

Daca N este mijlocul lui AC si P mijlocul lui BC⇒ NP=AB:2

Dar M este mijlocul lui AB⇒ AM=MB

⇒ NP=AM (2)

Stim ca ΔABC isoscel ⇒ AB=AC⇒ AM=AN (3)

Din 1, 2 si 3⇒ aM=AN=MP=NP⇒ AMPN este romb

∡BAC=120° si ΔABC isoscel⇒ ∡ABC=∡ACB=30°

MN este linie mijlocie⇒ MN=BC:2

BC=24 cm⇒ MN=12 cm

Luam separat rombul AMPN

∡A=∡P=120°⇒ ∡N=∡M=60°

Fie {O}=AP∩MN

ΔAON dreptunghic

NO=MN:2=6 cm

∡ANO=30°⇒ conform teoremei unghiului de 30°, latura care se opune unghiului de 30° este egala cu jumatate din ipotenuza

AO=AN:2

AN=2AO

Aplicam Pitagora (suma catetelor la patrat este egala cu ipotenuza la patrat)

AN²=AO²+NO²

4AO²=AO²+36

3AO²=36

AO=2√3 cm⇒ AP=4√3 cm⇒ AN=4√3 cm⇒ Perimetrul AMPN=4×4√3 cm⇒ P=16√3 cm

b)

AC=2AN=8√3 cm

AP este inaltime in ΔABC

Vom afla inaltimea din B pe AC cu aria in doua moduri

Aflam aria ΔABC

$A=\frac{AP\cdot BC}{2} =\frac{4\sqrt{3}\cdot 24 }{2}=48\sqrt{3} \ cm^2$

Notam d(B,AC)=x

$A=\frac{x\cdot AC}{2}$

$48\sqrt{3}=\frac{x\cdot 8\sqrt{3} }{2}$

x=12 cm (este egala cu jumatate din BC)

Un alt exercitiu asemanator de geometrie gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9972181

#SPJ1