Functia f:|R->|R, f(x)=![\sqrt[3]{x}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%7D++ "\sqrt[3]{x}")
este:
a) concava pe |R;
b) convexa pe (-∞,0] si concava pe [0,+∞);
c )convexa pe |R;
d) convexa pe (-∞,0].
Răspunsuri la întrebare
Răspuns de
1
concavitatea /convezitatea functiei se studiaza cu ajutoruklderivateide ordin2
ca idee orice functie radical ordin impar esteconvexa pe (-∞;0) si concava pe (0;∞) avanin 0 punct de inflexiune
f(x) =x^(1/3)
f'(x) =(1/3)x^(-2/3)
f"'(x) =-(1/3) *(2/3) x^(-5/3)=(-2/9)*1/∛x^5
intr-adevar pt x<0, avem-*-=+, functia este convexa
si pt x>0 avem -*+=-, functia este concava, raspuns corect b)
Extra : eu personal nu as inchide intervalele in 0...sau macar unul dintre ele
Lucian67:
bun, la fel mi-a iesit si mie acum cateva minute
sunt de aceeasi parere
multumesc mult :)
Le putem inchide pe amandoua.
Definitia clasica spune ca f este convexa pe I (interval) daca pentru orice x si y din I si t din [0,1] are loc inegalitatea: f(tx+(1-t)y) <= tf(x) + (1-t)f(y). Pentru y=0 am avea f(tx) <= tf(x), care devine echivalenta (prin ridicare la cub) cu tx <= t^3 * x <=> tx(1-t^2) <= 0, care este adevarata pentru ca t>=0, x<=0, 1-t^2>=0.
Definitia clasica spune ca f este convexa pe I (interval) daca pentru orice x si y din I si t din [0,1] are loc inegalitatea: f(tx+(1-t)y) <= tf(x) + (1-t)f(y). Pentru y=0 am avea f(tx) <= tf(x), care devine echivalenta (prin ridicare la cub) cu tx <= t^3 * x <=> tx(1-t^2) <= 0, care este adevarata pentru ca t>=0, x<=0, 1-t^2>=0.
La fel pentru concavitatea pe [0,+inf). (care reiese de altfel din imparitatea functiei)
nah, tocmai eu, lenesul , sa uit de imparitate!!!
mersi pt asta cu inchiderea....inteleg ca e cumva analog ca la prima derivata pt sudiul monotoniei..decinu se supara nimeni daca includem extremul si la un interval si la celalalt, (desigur daca prima derivata schimba semnul in vecinatatea extremului)
Da, extremitatile se pot include, pentru ca la urma urmei daca relatia din definitie este adevarata pentru un interval de forma [a,b),(a,b],(a,b), putem trece la limita si rezulta ca este adevarata si pentru capetele intervalului.
Utilizand derivata vom obtine informatii doar pe intervalele (-inf,0) si (0,+inf), fara 0, pentru ca nu functia nu e derivabila in 0, insa asta nu inseamna ca nu se pot extinde intervalele cu 0. (convexitatea poate fi prezenta chiar in lipsa derivabilitatii)
Utilizand derivata vom obtine informatii doar pe intervalele (-inf,0) si (0,+inf), fara 0, pentru ca nu functia nu e derivabila in 0, insa asta nu inseamna ca nu se pot extinde intervalele cu 0. (convexitatea poate fi prezenta chiar in lipsa derivabilitatii)
nu e derivabila, dar are derivate laterale infinite si egale ( daca imi amintesc bine) ..brrrrr....
Alte întrebări interesante