Question

găsiți restul impartirii la 19 a nr A=7^1+7^2+7^3+...+7^32​

Answer 1

Răspuns:

daca e A=7^1+7^2+7^3+...+7^33, atunci restul este 0

Explicație pas cu pas:

7^1 *(1+7+49)+7^4(1+7+49)+7^7(1+7+7^2) +7^10(1+7+7^2) +....+7^31(1+7+7^2)

(factirii din fata parantezei sunt de forma 3k+1)

divizibil cu 1+7+49=57=3*19, deci div. cu 19...

restul este 0

daca e doar..... +7^32.. atunci NU STIU, restul poate fi oricare intre 1 si 18...

Answer 2

Răspuns:

18

Explicație pas cu pas:

▪︎observăm că:

7⁰+7¹+7² = 1+7+49 = 57 = 3×19

▪︎suma are: 32-1+1 = 32 termeni

▪︎izolăm primii doi termeni, iar restul termenilor îi grupăm câte trei:

$A = ({7}^{1} + {7}^{2}) + ({7}^{3} + {7}^{4} + {7}^{5}) + ... + ({7}^{30} + {7}^{31} + {7}^{32}) = (7 + 49) + {7}^{3} \cdot ({7}^{0} + {7}^{1} + {7}^{2}) + ... + {7}^{30} \cdot ({7}^{0} + {7}^{1} + {7}^{2}) = 56 + 57 \cdot ({7}^{3} + ... + {7}^{30}) = {\bf18} + 2 \cdot 19 + 3 \cdot 19 \cdot ({7}^{3} + ... + {7}^{30})$

$A = {\bf19} \cdot \Big[2 + 3 \cdot ({7}^{3} + ... + {7}^{30}) \Big] + {\bf18}$

⇒ restul împărțirii numărului A la 19 este 18