Question

Gasiti suma primilor 20 de termeni ai progresiei aritmetice (an)n>=1, daca a6 +a9+a12+a15=20.

Answer 1

Pentru a face un exercitiu cu progresia aritmetica ai nevoie de urmatoarele formule:
r=ratia
$a_{n}$ este termenul general
$a_{n+1} = a_{n}+r$
$a_{n} = \frac{ a_{n+1}+ a_{n-1} }{2}$
$S_{n}= \frac{( a_{1}+ a_{n})*n }{2}$  (am folosit * pentru ori)
sau $S_{n}= \frac{[2 a_{1}+(n-1)r]n }{2}$

Folosind aceste formule,se rezolva exercitiul:
$a_{6}= a_{1} + 5r$
$a_{9} = a_{1} + 8r$
$a_{12}= a_{1}+11r$
$a_{15}= a_{1}+14r$

Stim ca suma termenilor de mai sus este 20,deci:
$a_{6}+ a_{9}+ a_{12} + a_{15} = 20$ ⇒
$a_{1}+5r+ a_{1}+8r+ a_{1} +11r+ a_{1} + 14r = 20$⇒
$4 a_{1} + 38r = 20$ 
Impartim relatia la 2 ⇒
$2 a_{1} +19r=20$ si retinem aceasta relatie pt ca o vom folosi mai tarziu

$S_{20}= \frac{ (a_{1}+ a_{20})*20 }{2}$ , conform formulelor de la inceput
$S_{20} = ( a_{1}+ a_{20})*10$ (am simplificat 20 cu 2 si am ramas cu 10 )
$a_{20} = a_{1}+19r$ ⇒ $S_{20} =( 2 a_{1} + 19r)*10$
Dar anterior am determinat $2 a_{1} + 19 r$ ca fiind 20(relatia pe care trebuia sa o retii din prima suma)
Deci $S_{20} = 20*10$ , adica 200

Raspunsul este 200