Question

Helpppppp rapid ex 11​

Answer 1

Răspuns:

a) A este par

b) 5

c) 0

Explicație pas cu pas:

A=3¹+3²+3³+...+3²⁰¹¹ /*3

3A=3²+3³+3⁴+...+3²⁰¹²

-------------------------------- Din a doua relatie o scadem pe prima.

3A-A=3²-3¹+3³-3²+3⁴-3³+...+3²⁰¹²-3²⁰¹¹

Observam ca termenii asemenea, dar cu semn schimbat, se reduc.

=> 2A=3²⁰¹²-3 => A=3²⁰¹²-3/2

Off... paritate si imparitate. Ma gandeam ca este indeajuns sa spuna ca numar 3²⁰¹² este impar, iar daca scadem alt numar impar (3), ne da tot un numar impar. Insa acesta se imparte la 2 si nu ii stim comportamentul... Cred ca tot pe ultima cifra trebuie sa mergem.

Ai sa vezi ca ultima cifra a unei puteri ale lui 3 se repeta dupa secvente de 3; 9; 7 si 1. Adica 3¹=3; 3²=9; 3³=27; 3⁴=81; 3⁵=243 si asa mai departe. Se repeta din 4 in 4. Pentru a afla ultima cifra a numarul nostru, este indeajuns sa aflam restul impartirii lui 2012 la 4 si sa il ridicam pe 3 la rest.

2012:4=503 rest 0 In cazul in care restul este zero, inseamna ca ultima cifra a lui 3 este echivalenta ca ultima din serie, adica 1.

=> u(3²⁰¹²)=u(3⁴)=u(81)=1

u(3²⁰¹²-3)=u(1-3)

Vei crede ca raspunsul este negativ, insa NU este asa. 3²⁰¹² este un numar foarte mare, ceea ce ne permite sa ne imprumutam la zeci => u(1-3)=u(11-3)=u(8)=8

u(8/2)=u(4)=4 => A este par

Acum observ o eroare in ce am spus mai sus, aparent nu era nevoie sa caluclam ultima cifra, intructa impar-impar=par; iar dupa aceaa par/par=par => A este par.

Este posibil sa fie o eroare in scriere, insa A este categoric, par.

b) u(A+1)=u[u(A)+u(1)]=u(4+1)=u(5)=5

c) Restul unui numar impartit la 5 se poate calcula dupa ultima cifra

=> restul lui A+1 la 5 este restul ultimei cifre ale lui A+1 impartita la 5, adica 0.