Question

Hey!
Se considera 2013 numere naturale nedivizibile cu 3. Aratati ca suma patratelor lor este divizibila cu 2013.

Answer 1

Daca numerele nu sunt divizibile cu 13 sunt de forma:

Caz 1: a= 3n+1 => a²=9n²+6n+1 = 3(n²+2n) +1 = 3*m+1

sau Caz 2:  a=3n+2 =>  a²=9n²+12n+4 =9n²+12n+3+1=3(n²+4n+1) +1=3*p+1

Daca adunam cei 2013 numere gen a² , vom avea indiferent cate sunt in cazul 1, sau in cazul 2:
 Suma=3*( m+p+......)+1*2013 =3*(m+p+...)+3*671=3*[(m+p)+671]  este divizibila cu 3.