Question

I.Fie punctele A(-6; 2); B(2; 4); C(0; -8). Se cere: 1. Ecuația dreptei AC. 2. Coordonatele mijlocului segmentului AC. 3. Ecuația medianei duse din punctul B. 4. Distanța de la punctul B la dreapta AC. 5. Ecuația dreptei care trece prin punctul B și este paralelă cu dreapta AC. 6. Distanța de la origine la punctul B. 7. Ecuația înălțimii duse din B pe latura AC. 8. Valorile reale ale lui m pentru care punctul P(4m-6 ; m) se gasește pe dreapta AC.

II. Fie dreptele : 1 : 2 − 7 − 5 = 0 2 : − 4 + (3 + 2) + 2 = 0. Se cer valorile reale ale lui m pentru care cele două drepte sunt paralele.

Urgent! Dau coroana!!! ​

Answer 1

Ecuatia unei drepte:

• cand se cunsosc cele doua puncte:

$\frac{x-x_A}{x_B-x_A} =\frac{y-y_A}{y_B-y_A}$

• cand se stie panta si un punct:

$y-y_A=m(x-x_A)$

Determinarea pantei:

• cand se cunosc cele doua puncte:

$m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$

• cand se cunoaste ecuatia dreptei:

$m=-\frac{a}{b}$

Rezolvare:

A(-6; 2); B(2; 4); C(0; -8)

1. Ecuatia dreptei AC:

$\frac{x+6}{0+6} =\frac{y-2}{-8-2}$

-10(x+6)=6(y-2)

-5x-30=3y-6

-5x-3y-24=0

2. Coordonatele mijlocului AC

Coordonatele mijlocului: media aritmetica a coordonatelor A si C

$x_M=\frac{x_A+x_C}{2}$

$y_M=\frac{y_A+y_C}{2}$

$x_M=-3$

$y_M=-3$

M(-3,-3)

3. Ecuatia medianei duse din punctul B, o vom nota BN

Mediana imparte latura in doua parti egale, inseamna ca N este mijlocul lui AC

Deci aflam coordonatele punctului N (cele de la punctul 2)

N(-3,-3)

Ecuatia dreptei BN:

$\frac{x-x_B}{x_N-x_B} =\frac{y-y_B}{y_N-y_B}$

$\frac{x-2}{-3-2} =\frac{y-4}{-3-4}$

-7x+14=-5y+20

-7x+5y-6=0

4. Distanta de la punctul B la dreapta AC, o vom nota BE

BE este perpendicular AC

Ecuatia dreptei AC:

-5x-3y-24=0

a=-5 b=-3 c=-24

$d(B,AC)=\frac{|ax_B+by_M+c|}{a^2+b^2}$

$BE=\frac{-5\times2-3\times4-24}{25+9} =\frac{-46}{34} =\frac{-23}{17}$

5. Ecuația dreptei care trece prin punctul B și este paralelă cu dreapta AC

Daca doua drepte sunt paralele atunci pantele sunt egale

Deci $m_B=-\frac{5}{3}$

Ecuatia va fi:

$y-4=-\frac{5}{3}(x-2)$

-3y+12=-5x+10

-5x+3y-2=0

6. Distanța de la origine la punctul B

Stim ca originea este punctul O(0,0)

Distanta de la un punct la o dreapta:

$d(B,O)=\sqrt{(x_O-x_B)^2+(y_O-y_B)^2}$

BO=√4+16=2√5 cm

7. Ecuația înălțimii duse din B pe latura AC, o vom nota BE

BE este perpendicular AC

Daca cele doua drepte sunt perpendiculare inseamna ca relatia dintre pante este: m₁ × m₂=-1

$m_{AC}=\frac{y_C-y_A}{x_C-x_A} =\frac{-10}{6} =\frac{-5}{3}$

De aici rezulta ca:  $m_{BE}=\frac{3}{5}$

$y-y_B=m_{BE}(x-x_B)$

$y-4=\frac{3}{5}(x-2)$

5y-20=3x-6

3x-5y+14=0

8. Valorile reale ale lui m pentru care punctul P(4m-6 ; m) se gasește pe dreapta AC

Avem ecuatia dreptei AC:

-5x-3y-24=0

Pentru ca punctul P sa apartina dreptei AC, atunci vom inlocui coordonatele in ecuatie si obtinem:

-5(4m-6)-3m-24=0

-20m+30-3m-24=0

-23m+6=0

$m=\frac{6}{23}$