Question

În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(-1,1), B(1,a) și C(4,2a +1), unde a este număr real. Determinați numărul real a , pentru care punctele A , B și C sunt coliniare. FARA DETERMINANT

Answer 1

Răspuns:

a=5

Explicație pas cu pas:

fie cx+d ecuatia dreptei care trece prin cele 3 puncte

atunci

-c+d=1

c+d=a

4c+d=2a+1

3ec, 3 nec, compatibil

d=c+1

c+c+1=a

2c=a-1

c=(a-1)/2

d= c+1= (a+1)/2

inlocuim in ultima

2a-2+(a+1)/2=2a+1

(a+1)/2=3

a+1=6

a=5

verificare

A(-1;1) B(1;5) C (4;11)

se oberva ca se afla pe drepta y=2x+3 ,deci bine rezolvat

Answer 2

$\it Fie\ func\c{\it t}ia\ liniar\breve a\ f:\mathbb{R}\ \longrightarrow\ \mathbb{R},\ f(x)=bx+c.\\ \\ Gf\ este\ o \ dreapt\breve a.$

Determinăm funcția f, astfel încât punctele A și B,  din enunț,  

să aparțină lui Gf.

Pentru ca punctele A, B, C să fie coliniare, punem condiția

C (4,  2a+1) ∈ Gf și determinăm valoarea lui a.

$\it \left.\begin{aligned} \it A(-1,\ 1) \in Gf \Rightarrow f(-1)=1\\ \\ \it f(x)=bx+c \Rightarrow f(-1)=-b+c\end{aligned}\right\} \Rightarrow -b+c=1\ \ \ \ \ (1)\\ \\ \\ \left.\begin{aligned} \it B(1,\ a) \in Gf \Rightarrow f(1)=a\\ \\ \it f(x)=bx+c \Rightarrow f(1)=b+c\end{aligned}\right\} \Rightarrow b+c=a\ \ \ \ \ (2)$

$\it (1),\ (2) \Rightarrow 2c=a+1 \Rightarrow c=\dfrac{a+1}{2}\ \ \ \ \ \ (3)\\ \\ \\ (2),\ (3) \Rightarrow b+\dfrac{a+1}{2}=a|_{\cdot 2} \Rightarrow 2b+a+1=2a \Rightarrow 2b=a-1 \Rightarrow b=\dfrac{a-1}{2}\ \ \ \ (4)\\ \\ \\ f(x)=bx+c\ \stackrel{(3),(4)}{\Longrightarrow}\ f(x)=\dfrac{a-1}{2}x+\dfrac{a+1}{2}\\ \\ \\ C(4,\ 2a+1)\in Gf \Rightarrow f(4)=2a+1 \Rightarrow 2a-2+\dfrac{a+1}{2}=2a+1 \Rightarrow \\ \\ \\ \Rightarrow \dfrac{a+1}{2}=3 \Rightarrow a+1=6 \Rightarrow a=5$

Cele trei puncte din enunț sunt coliniare  pentru a = 5.