Question

Imi poate explica cineva cum se rezolva : C de n luate cate 0 + C de n luate cate 1 + C de n luate cate 2+...+ C de n luate cate n = 2 la pueterea n
Am uitat sa mentionez ca mi se cere suma coeficientilor binominali  ai dezvoltarii $(2x^{2} -5y) ^{n}= 32$ . Trebuie sa-l aflu pe n pt a determina termenul de rang 4 . Am nevoie de ajutor , va rog .

Answer 1

Ambele exercitii sunt aplicacatii ale formulei lui Newton:

$(a+b)^n=C_n^0a^n+C_n^1a^{n-1}b+C_n^2a^{n-2}b^2+ ... +C_n^ka^{n-k}b^k+...+C_n^nb^n$ 

Pentru a rezolva prima problema trebuie daoar sa inlocuiesti atat pe a cat si pe b cu 1 in formula de mai sus.

In ceea ce priveste a doua problema : Suma coeficientilor binomiali este suma aflata mai sus:
 $2^n=32 \Rightarrow n=5$ 

Problemele in care se cere sa afli termenul de rang k+1, se rezolva cu formula   
  $T_{k+1}=C_n^ka^{n-k}b^k$
Dupa cum observi acest termen apare in dezvoltarea de mai sus,  fiind al k+1-lea -- numaratoarea inccepe de la k=0--  
In cazul nostru [tex]a=2x^2\\ b=-5y\\ n=5\\ k=3\\ T_{3+1}=C_5^3(2x^2)^2(-5y)^3=10\cdot4x^4\cdot(-125y^3)=-5000x^4y^3[/tex]