Question

Imi puteti face 7 e si f. Multumesc anticipat.

Answer 1

Trebuie demonstrat ca functiile sunt atat injective cat si sujective, ca sa fie bijective.

e) l(x)=x^3 -2, l:R-->R

injectivitatea: ∀ x1≠x2 l(x1)≠l(x2):  fie x1≠x2 oarecare din R, atunci avem x1^3≠x2^3 si x1^3 -2 ≠ x2^3 -2, deci injectivitate pentru functia l(x)

surjectivitatea: ∀y∈R, exista x∈R a.i. l(x)=y.

Fie y∈R oarecare. Avem x^3 -2 = y ⇔ x^3 = y+2 ⇔ x=$\sqrt[3]{y+2}$ deci pt orice y real exista x real a.i. l(x)=y, deci surjectivitatea este dovedita.

Functia l(x) fiind astfel atat injectiva cat si surjectiva este bijectiva.

f) inj: Demonstram ca oricare ar fi x1≠x2 avem m(x1)≠m(x2):

distingem 3 cazuri:

1) atat x1 cat si x2 ≤ 0, diferite. In mod evident avem x1^2 ≠ x2^2 , pentru x1≠x2

2) atat x1 cat si x2 >0, diferite. Atunci avem si -x1 ≠ -x2

3) x1≤0 si x2>0. Avem 0≤x1^2≠ -x2<0

Pentru x1≥0 si x2<0, in mod absolut analog.

Injectivitatea functiei este demonstrata.

Surjectivitatea: ∀y∈R, exista x∈R a.i. m(x)=y

Avem doua cazuri:

* daca y≥0, oarecare, exista x≤0 a.i. y=x^2(parabola lui x^2 pt x≤0)

* daca y<0, oarecare, exista x>0 a.i. y= -x(cea de-a doua bisectoare pt x>0)

Deci m, fiind atat injectiva cat si bijectiva, este bijectiva.

Answer 2

7e)

h(x) =x³, bijectiva pe R (x³ crescatoare peR sau pt cl a 11-a si BAC, are decivata 3x²>0 ∀x∈R* si=0 far sa schimbe semnul , in 0)

g(x) =-2 functie constanta

l(x) =x³-2 bijectiva pe R , poti sa ii faci si graficul rapid..il faci pt x³, parabola de grad 3, si o translatezi cu -2 pe y

7f) x²pt x∈(-∞;0]->[0;∞) bijectiva functiede grad 2, ramura descendenta, descrescatoare

-x pt x∈(0;∞)->(-∞;0) bijectiva, functiede grad1 cu a=-1<0

deci m(x) bijectiva (descrescatoare) pe R

am considerat cunoscute bijectivitatea functiei de gradul intai , a functie x^(2k+1) si a celor 2 ramuri ale parabolei functiei de grad2 . fiecare pe domeniul si codomeniul sau