Question

Îmi trebuie doar rezolvarea de la punctul a). Mulțumesc! ​

Answer 1

Răspuns:

$(1-sin a)x^2-2xcos a+1+sina\geq 0$ Vom trata ecuatia ca o functie de gr. 2

$f(x) = (1-sin a)x^2-2xcosa+1+sina$

Vom demonstra ca $f(x)\geq 0$, adica vom demonstra ca Delta = 0 si ca coeficientul a > 0;

Etapa 1) Coeficientul $a=(1-sina) > 0$ "Adevarat", deoarece sina apartine intervalului [-1;1]. Putem verifica pentru sina = -1 si sina = 1 =>

Pentru sina = -1 => $a=1-sina = 1-(-1) = 1+1=2$

Pentru sina= 1 =>$a=1-sina= 1-1=0$ (Deoarece $a\geq 0$ vom trata cazul in care a=0 separat)

Etapa 2) Vom demonstra ca Delta = 0

$Delta = b^2-4ac = (-2cosa)^2-4*(1-sina)*(1+sina) = 4cos^2a-4(1^2-sin^2a) <=> 4cos^2a-4+4sin^2a <=> Observatie!! (sin^2a=1-cos^2a)!! \\=> 4cos^2a-4+4*(1-cos^2a) <=> -4cos^2a-4+4+4cos^2a = 0$

Am demonstrat ca delta = 0

Deoarece $a\geq 0$ si Delta = 0 => f(x) $\geq 0$ pentru orice x ∈ R

Etapa 3) Acum ne vom ocupa separat de cazul in care a = 0

$a = 0 => f(x) = (1-sina)x^2-2xcosa+1+sina\geq 0 <=> 0*x^2-2xcosa+1+sina\geq 0 => -2xcosa+1+sina\geq 0$

Acum vom lua cazul in care sin a = 1 si cos a = -1;

$=> -2x*(-1)+1+1\geq 0 <=>2x+2\geq 0$ "Adevarat"

Nu mai sunt alte cazuri deoarece a=0 numai cand sina = 1 => Inegalitatea a fost demonstrata !!! C.C.T.D.

Explicație pas cu pas: