Question

impartind pe rand numarul natural n la 12 si la 18 se obtin resturile 7 respectiv 13. a) numarul natural n poate fi egal cu 103? justifica raspunsul dat b) arata ca cel mai mic numar natural n cu aceasta proprietate este 31​

Answer 1

Răspuns: Rezolvarea e mai jos

Explicație pas cu pas:

$\color{orangered}\large\boxed{\bf Teorema~ impartirii~ cu~ rest: D = I \cdot C + R,unde~ R < I}$D - deîmpărțit, Î - împărțitor, C - cât, R - rest

Din teorema împărțirii cu rest avem:

n : 12 = c₁, rest 7 ⇒ n = 12c₁ + 7   |+5 ⇒  

n : 18 = c₂, rest 13 ⇒ n = 18c₂ + 13 |+5 ⇒  

n + 5 = 12c₁ + 12 ⇒ n + 5 = 12(c₁ + 1) ⇒ (n + 5) ⋮ 12 ⇒

n + 5 = 18c₂ + 18 ⇒ n + 5 = 18(c₂ + 1) ⇒ (n + 5) ⋮ 18 ⇒  

(n + 5) ⋮ cmmmc [12, 18] ⇒ (n + 5) ⋮ 36

12 = 2² · 3¹  

18 = 2¹ · 3² ⇒ [12, 18] = 2² · 3² ⇒ [12, 18] = 36

n + 5 = 36k , unde k ∈ IN* ⇒  

n = 36k - 5

A) n = 103

103 = 36k - 5

108 = 36k

k = 3 ∈ IN* ⇒  n = 103 verifică cerința problemei

Verificare:

36 · 3 - 5 =

108 - 5 = 103 ✅

B)

k = 1 ⇒ n = 36 · 1 - 5 ⇒ n = 36 - 5 ⇒ n = 31  

n = 31 cel mai mic număr natural care respectă condițiile problemei

#copaceibrainly