Question

in ΔABC dreptunghic in A, AD⊥BC , D∈(BC). daca punctele M si P sunt mijloacele laturilor [AB] si [AC], atunci demonstrati ca ΔMDP ESTE DREPTUNGHIC

Answer 1

AD perpendiculara pe BC, rezulta ca triunghiul ADB este dreptunghic cu unghiul drept in D. Deci avem catetele AD BD si ipotenuza AB. M este mijlocul ipotenuzei AB atunci AM este mediana corespondenta ipotenuzei despre care stim ca este jumatate din ipotenuza
$DM=\frac{AB}{2}$
In mod similar, ADC dreptunghic unghi drept D catete AD si CD ipotenuza AC, P mijlocul ipotenuzei AC atunci
$DP=\frac{AC}{2}$
MP este linie mijlocie in triunghiul ABC atunci stim ca
$MP=\frac{BC}{2}$
Avem urmatoarea relatie din teorema lui Pitagora
$AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$ impartim relatia prin 4 si ne folosim de relatiile de mai sus si avem
$\frac{AB^{2}}{4}+\frac{AC^{2}}{4}=MD^{2}+DP^{2}=\frac{BC^{2}}{4}=MP^{2}$ relatia lui Pitagora se respecta in MDP, deci MDP este dreptunghic cu catetele MDDMP si ipotenuza MP