Question

În cercul cu raza de 10 cm se înscrie dreptunghiul ABCD cu măsura arcului CD=150°.Aflați perimetrul lui ABCD.

Answer 1

.................................

Answer 2

Desenăm dreptunghiul ABCD, notat trigonometric, din stânga jos,
 
cu AB > BC.

Ducem diagonalele, care se intersectează în O, centrul cercului

circumscris dreptunghiului.

Trasăm cercul, cu centrul în O și A, B, C, D pe cerc.

Unghiul DOC este un unghi la centru, prin urmare :

m(∡DOC) = m(arcCD) =150°

ΔOCD -isoscel, OC = OD ⇒ m(∡OCD) = m(∡CDO) =  (180°-150°)/2 = 15°


Triunghiul CDA este dreptunghic în D și are m(∡ACD) = 15°, iar

AC = diametrul cercului = 2·10 = 20cm.

Pentru perimetrul dreptunghiului, avem nevoie de dimensiunile acestuia.

Ne situăm în triunghiul CDA și calculăm:

sinC = AD/AC  ⇒  sin15° = AD/20 ⇒ AD = 20sin15°

cosC = CD/AC ⇒  cos15° = CD/20 ⇒ CD = 20cos15°

Semiperimetrul dreptunghiului este:

p = AD+CD = 20(sin15° +cos15°) ⇒ p² = 20²(sin15° +cos15°)²=

=400(sin²15° +cos²15° + 2 sin15°cos15°) = 400(1+sin30°) = 400(1+1/2) =

=400+200 = 600 ⇒ p =√600 = √(100·6) =10√6

Perimetrul = 2p = 2·10√6 = 20√6 cm