Question

In dreptunghiul ABCD, consideram punctul E€(CD), astfel incat BE | AC (perpendicular) . Aratati ca BC la puterea 2 =EC•AB . Dau COROANA

Answer 1

Daca vrei sa iti fac o figura,sa-mi spui.

Practic, trebuie sa demonstrezi ca: BC*BC=EC*AB, care poate fi rescris ca:
$\frac{BC}{EC}=\frac{AB}{BC}$

Tangenta unui unghi intr-un triunghi dreptunghic este egala cu cateta opusa/cateta alaturata.  de exemplu, daca ai triunghiul dreptunghic ABC cu $\angle{BAC}=90$ atunci $\tan{BCA}=\frac{AB}{AC}$

Dupa acelasi model, observam ca avem triunghiurile dreptunghice $\triangle{ABC}$ si $\trianlge{BCE}$ cu unghiurile drepte $\angle{ABC}=90$ si $\angle{BCE}=90$ Atunci avem:

$\tan{BCA}=\frac{AB}{BC}$
$\tan{CEB}=\frac{BC}{EC}$

Deci problema devine sa demonstram ca $\tan{BCA}=\tan{CEB}$ deci sa aratam ca
$\angle{BCA}=\angle{CEB}$

Hai sa denumim intersectia dintre AC si BE cu litera M. Stiind ca sunt AC si BE sunt perpendiculare, rezulta ca $\triangle{BCM}$ este dreptunghic cu $\angle{CMB}=90$

Poti sa observi ca atat $\triangle{BCM}$ cat si $\triangle(BCE)$ sunt dreptunghice, ambele cu o latura in comun BC, si cu un unghi comun: $\angle{CBM}=\angle{CBE}$
 de unde rezulta ca cele doua triunghiuri sunt congruente, de unde rezulta ca:

$\angle{BCM}=\angle{CEB}$ dar observam ca $\angle{BCM}$ este acelasi cu $\angle{BCA}$ de unde rezulta:

$\angle{BCA}=\angle{CEB}$ exact ce aveam nevoie sa demonstram