Question

In dreptunghiul ABCD cu AB= 10 cm si BC = 10 radical din 3 se duce BM perpendiculara cu AC si se prelungeste astef incat BM intersectat cu AD = (N) Sa se afle : a) Lungimile segmentelor AC,BM,AN b) valoarea raportului A amn supra A adc

Answer 1

Ducem diagonala AC. ABCD este dreptunghi, deci stim ca AB=CD=10 si
$BC=AD=10\sqrt{3}$ deci stim ca triunghiul ADC este dreptunghic cu
$\widehat{ADC}=90$ cu catetele CD si AD si ipotenuza AC. Folosindu-ne de teorema lui Pitagora:
$AC^{2}=AD^{2}+DC^{2}=10^{2}+3*10^{2}=4*10^{2}\Rightarrow AC=2*10=20$
Stim ca aria unui triunghi dreptunghic este produsul catetelor/2 sau inaltime*ipotenuza pe 2, exact cum ti-am scris la problema cu trapezul
Aplicand aceeasi formula pentri triunghiul dreptunghic ABC, obtinem
$A_{ABC}=\frac{AB*BC}{2}=\frac{BM*AC}{2}\Rightarrow BM=\frac{AB*BC}{AC}=\frac{10*10'\sqrt(3)}{20}=5\sqrt{3}$

Stim ca BM este perpendicular pe AC, rezulta ca BMA este triunghi dreptunghic cu $\widehat{BMA}=90$ cu BM si AM catete si AB este ipotenuza. Folosind teorema lui pitagora 

$AM^{2}=AB^{2}-BM^{2}=10^{2}-3*5^{2}=100-75=25\Rightarrow AM=5$
Acum ne uitam la unghiul DAC si aplicam formula pentru cos in doua triunghiuri dreptunghice
In general:
$\cos=\frac{cateta alaturata}{ipotenuza}$
Aplicam formula pentru unghiul DAC din triunghiul dreptunghic ADC
$\cos{DAC}=\frac{AD}{AC}$
Dar observam ca $\widehat{DAC}=\widehat{DAM}=\widehat{NAM}$ practic este acelasi unghi
Stim ca NM este perpendicular pe AM(BN intreg este perpendicular pe AM)
atunci
$\widehat{NAM}=90$ de unde rezulta ca NAM este dreptunghic, cu AM si NM sunt catete, si AN este ipotenuza
Atunci

$\cos{NAM}=\frac{AM}{AN}$
Dar stim si ca
$\cos{DAC}=\frac{AD}{AC}$
Si cele doua unghiuri sunt egale. Atunci
$\frac{AM}{AN}=\frac{AD}{AC}\Rightarrow AN=\frac{AM*AC}{AD}=\frac{5*20}{10\sqrt{3}}=\frac{10\sqrt{3}}{3}$

b) Putem afla ariile celor doua triunghiuri
$A_{ADC}=\frac{AD*DC}{2}={10*10\sqrt{3}}{2}=50\sqrt{3}$
In celalalt triunghi avem nevoie de ambele catete sa o putem determina. AM este cunoscut, MN trebuie calculat din teorela lui Pitagora

$MN^{2}=AN^{2}-AM^{2}=\frac{100*3}{9}-25=\frac{300-225}{9}=\frac{75}{9}\Rightarrow MN=\frac{5\sqrt{3}}{3}$

Atunci $A_{AMN}=\frac{AM*MN}{2}={5*5\sqrt{3}}{4}=\frac{25\sqrt{3}}{4}$
Atunci raportul devine
$\frac{A_{AMN}}{A_{ADC}}=\frac{\frac{25\sqrt{3}}{4}}{50\sqrt{3}}=\frac{1}{8}$